يظن البعض أن إيجاد حلول لمشكلات خاصة بمنهجك الدراسي، أو النطاق البحثي الذي تعمل به، أو مشكلاتك في ترتيب الأثاث بالمنزل، والحاجة إلى تنظيم الميزانية الشهرية، أشبه بحالة من السحر الذي يجتاح كيان الواحد منا، فتصله الأفكار الجديدة كوحي أو إلهام، لكن الحقيقة هي أن الأمر ليس كذلك؛ كل فكرة جديدة هي نتيجة مباشرة لبذل الجهد في التفكير على مدى زمني متصل، وهي كذلك نتيجة لآليات في التفكير وطّن البعض ذاته عليها دون غيره.

  

في تلك النقطة تدخل الرياضيات إلى أرض الملعب متجهزة تماما لإحراز عدد من الأهداف الحاسمة، حيث إن إحدى أهم وأبسط آليات التفكير هي التجريد؛ فصل الواقع عن الفكرة ودراستها بغض النظر عن مواصفاتها الأخرى التي لا ترتبط بكونها "فكرة"، ولا يوجد ما هو أفضل من الرياضيات لكي نتعلم تلك الطريقة، لكن الرياضيات نفسها، كموضوع دراسي، غالبا ما تكون مملة لغير المهتمين بها، أو دارسيها خلال فترة زمنية ليست بقصيرة، لذلك فإن ما سوف نقدمه هنا هو مجموعة من المساقات الهامة "عن" الرياضيات، وليست تحديدا "في" موضوعاتها، تلك التي تساعدك على تحقيق فهم واضح لآليات التفكير الرياضياتي نفسه.

   

المساق الأول، والأسهل على الإطلاق ضمن المجموعة، هو "التفكير الفعّال خلال الرياضيات" (Effective Thinking Through Mathematics) على المنصة الشهيرة "edX"، ويقدمه بشكل رئيسي مايكل ستاربيرد أستاذ الرياضيات بجامعة تيكساس، ويهدف ببساطة إلى تعليمك بعض أساسيات التفكير الفعّال من خلال عوالم الأحاجي (Puzzles) الرياضياتية، والحكايات الممتعة المرتبطة التي نقابلها بشكل دوري في حياتنا اليومية، فيبدأ مثلا معك بحكاية جنّي أعطاك ميزانين وتسع صخور واحدة منها ثمينة للغاية، ثم يطلب منك أن تستخدم الميزانين في معرفتها، ثم ينطلق من تلك الحكاية لتحليل أساليب حل المشكلات بطريقة أكثر تجريدا، وهكذا طوال المساق، كما أن أحد الأشياء الممتعة هي أن جزءا كبيرا من المساق يظهر في شكل حوار لذيذ بين مقدميه..

المساق المجاني تجده هنا

     

   

يستهدف المساق القارئ العادي غير الخبير في الرياضيات، لذلك وضعناه في أول القائمة، فهو لا يتعرض للرياضيات إلا بقدر يسير جدا، وعلى الرغم من أنه مقسم على المنصّة إلى خمسة أسابيع، فإنك يمكن أن تنتهي منه بشكل أكثر تركيزا، في ليلتين أو ثلاث فقط؛ فبجانب بساطة المادة المقدمة خلال هذا المساق، يشرح ستاربيرد موضوعه في حوالي 50 فيديو فقط، بمتوسط طول ثلاث دقائق للواحد منها، ما يعني فقط ثلاث ساعات أو أقل للمساق ككل.

     

لكن ما يلفت الانتباه حقا لهذا المساق، بجانب بساطته الزائدة في بعض الأحيان، وتلويحه من حين لآخر بعبارات التنمية البشرية المنمقة -لكن غير ذات الأثر الواضح-، هو الكتاب الذي يبني المساق نفسه عليه، ويمكن القول إن المساق كله هو محاولة للترويج لهذا الكتاب الضخم، والجميل في نفس الوقت، إنه كتاب "قلب الرياضيات: دعوة إلى التفكير الفعّال" (The Heart of Mathematics: An Invitation to Effective Thinking).

    

الكتاب في حد ذاته ممتع، يحتوي أضعاف أضعاف المعلومات الموجودة في المساق وبأسلوب أكثر احترافية، يناسب طلاب الرياضيات والعامة على حد سواء، ويستطيع في حوالي ألف صفحة أن يفتح لك الباب، ليس فقط لفهم الأفكار الرياضياتية الشهيرة بسهولة ويسر مع كم مهول من الأشكال الممتعة والصور، ولكن أيضا يحاول الكتاب تقصّي آليات الوصول لتلك الأفكار، ومنها ينطلق إلى تحقيق هدفه في عرض مجموعة من الأفكار الهامة التي سوف تساعدك في الوصول إلى مبتغاك، ومشكلته أنه غالي الثمن، لكن مع بعض البحث على الإنترنت قد تجد نسخة مجانية مخبأة هنا أو هناك.

   

إلى الآن، لا نزال ضمن مستوى مبتدئ جدا، ويمكن أن نضيف لهذا المستوى أيا من مساقات الرياضيات المقدمة للمرحلة الإعدادية، كالجبر والهندسة، وإن أحببت فيمكن لك أن تتعلم بعض الرياضيات الأساسية للثانوية العامة في دولتك، وكمصدر لها لن تجد ما هو أفضل من المنهج الدراسي للمرحلتين الإعدادية والثانوية. للوهلة الأولى يبدو اقتراحا غريبا، لكن هذا المنهج هو أقرب وأفضل المصادر، حيث يتميز أولا بأنه منهج قوي، منظم، كذلك فهو متاح للجميع، سواء عبر الكتب والكتب المساعدة الشهيرة (المعاصر في مصر مثلا)، كذلك سوف تجد عددا ضخما من شارحي المنهج على يوتيوب، كما ستجد آلاف المسائل بإجاباتها أيضا، والأهم هو أنك دائما سوف تجد من يساعدك؛ مدرسك القديم أو أحد مراهقي العائلة. 

 

دعنا الآن ننتقل إلى واحد من أكثر المساقات لفتا للانتباه على الإنترنت، حيث ينجح مقدمه، الأميركي بيل شيليتو من معهد جورجيا للتقنية، والذي يصف نفسه كمتعدد الاهتمامات (Polymath)، في تقديم الرياضيات العليا (Higher Mathematics) للمبتدئين في صورة 19 محاضرة قصيرة، مدة الواحدة منها حوالي النصف ساعة، باحترافية شديدة لفتت انتباه كل محبي الرياضيات في العالم كله، فتلك مهمة ليست سهلة على الإطلاق، حيث يمكن أن تقدم الجبر مثلا للمبتدئين، فطلبة المراحل الإعدادية يدرسونه في مساقات مبسطة، أما عن الرياضيات العليا فهي قفزة شاهقة.

   

  

يهدف المساق إلى بناء قاعدة قوية في الرياضيات، وتطوير قدراتك على التفكير التجريدي، كذلك يعلمك كيف يمكن أن تكتب براهين رياضياتية، والأهم من ذلك أن تستطيع قراءتها، وتجهيزك للمساقات الرياضياتية الأعقد إن كنت تريد ذلك، لذلك يشرح فيليتو موضوعات هامة كالإثبات (Proof)، وكيف يمكن لك أن تحصل على إثبات، وكيف تستخدم القواعد الرياضياتية الأولية في الوصول إليه، ثم ينطلق بعد ذلك لموضوعات منطقية (Propositional logic) ويعلمك الفروقات بين الفرضيات والاقتراحات، ثم ينطلق للحديث عن الحدسيات الرياضية (Conjectures) والبديهيات (Axioms)، ومنها إلى نظريات الفئة ومعاني الدوال وصور العلاقات الرياضية والطوبولوجيا، ونظرية الأعداد ومعنى اللانهاية والدالة، ثم إلى نظرية المجموعات (Group theory).

  

قد تجد أن كل تلك الاصطلاحات المعقدة عصية على الفهم، وهي كذلك بالفعل، لكن فيليتو يستطيع بالفعل أن يبسطها لمستوى طالب في الثانوية العامة، بل لا يفترض حتّى أن تكون على دراية ببعض الموضوعات الأساسية كالتفاضل والتكامل، ويطلب منك فقط بعض التركيز، وهو إذ يتحرك ببطء خلال موضوعاته، يقدم لك بين الحين والآخر لمحات تاريخية ممتعة، وتطبيقات عملية من حياتنا اليومية، لذلك إن كنت تود تعلم أساسات الرياضيات العليا فإن هذا المساق المجاني هو مبتغاك.

  

وما يميز هذا المساق حقا ليست الموضوعات التي يشرحها، ولكن حينما تجد نفسك تتعرف على خلفية الرياضيات، وما تبني نفسها عليه، يشبه الأمر أن تُعجب للغاية بذلك الهاتف الذكي وآلية عمله، لكن حينما تفتحه وتتعرف على مكونات أجزائه قد تنبهر بدرجة أكبر، كذلك يمكنك المساق من الدخول فيما بعد إلى أرض منطقة معرفية غاية في الإثارة، وهي المنطق الرياضي، والتي سوف تمكنك فيما بعد من رؤية العالم بوجهة نظر مختلفة تماما.

  

واحد من أفضل المساقات الممكنة المتعلقة بالتفكير الرياضياتي هو ذلك الذي تقدمه جامعة ستانفورد مجانا عبر منصة "كورسيرا" (Coursera) الشهيرة، في الحقيقة يمكن القول إن كم المعارف الذي سوف تتحصل عليه إن استطعت أن تبذل بعض الجهد الأسبوعي لمدة عشرة أسابيع في هذا المساق لا يمكن وصفه، يشبه الأمر أن تقرأ ثلاثة كتب دراسية كاملة وتخرج وقد تعلمت كل ما فيها، ولا نبالغ حينما نقول إن أستاذ ستانفورد، مقدم المساق، كيث ديفلن، قد أبدع حقا في اختبار وتنسيق وتقديم مادة هذا المساق، لذلك إن كان لي أن أرشح لك مساقا واحدا في تلك المجموعة، فهو هذا المساق.

المساق من هنا

    

يتستهدف المساق أصحاب المستوى المبتدئ في الرياضيات، بداية من الحاصلين على شهادة الثانوية العامة، مرورا بطلبة السنة الأولى الجامعية، ويقدم المساق بداية مهمة وغاية في الإفادة للمنطق الرياضي والرياضيات العليا، والتي سوف تفيدك كثيرا، سواء كنت طالبا مبتدئا في هذا المجال، أو كانت لك أمنيات مستقبلية بدراسة الرياضيات، أو كنت من دارسي الاقتصاد، علم الاجتماع، الفلسفة، أو البيولوجيا مثلا، وتهتم بإدخال هذا النمط من التفكير والبحث ضمن أدواتك، أو حتى إن كنت شخصا عاديا فقط يود أن يفهم كيف يمكن أن نفكر في الأمور من وجهة نظر الرياضيات.

     

في الحقيقة، يركز المساق على فكرة التجريد، وكثيرا ما يردد ديفلن أن هدف المساق ليس تطبيق الرياضيات أو حل مسائلها أو الخوض في موضوعاتها بقدر ما هو جولة في كيفية التفكير في ذلك كله، إذن لا يهم هنا أن تستخدم "الصيغ" الرياضياتية لحل المسائل، لكن سوف تصنع أنت تلك الصيغ، وسوف يعلمك ذلك كيف يمكن أن تحلل المشكلات عن طريق تحويلها لصيغ مجردة، ثم تنظر في الاحتمالات الممكنة من أجل الوصول للحلول النهائية.

     

يبدأ المساق بتعليمك أساسات المنطق الرياضي ببساطة شديدة، ثم بعد ذلك ينتقل لتعليمك كيف يمكن أن تحول الجمل اللغوية لصيغ رياضياتية، ثم يمضي بك بعد ذلك بسهولة ويسر شديدين في موضوعات أكثر تعقيدا خلال الأسابيع العشرة، وكل أسبوع تتحصل على محاضرتين طول الواحدة منهما نصف ساعة، ثم الكثير من الوصلات الخارجية لعروض ممتعة عن المادة التي تستذكرها واختبارات كثيرة بداخل الفيديو وخارجه، وقد يفرد ديفلن حصص مخصوصة لتعليمك كيف تجيب على الواجبات.

    

ورغم بساطته، فإن هذا النوع من المساقات يتطلب قرارا مسبقا بخوضه وإتمامه على أكمل وجه، وتخصيص عدد ساعات يومي للانتهاء منه، وإذا كانت لديك مشكلات مع الرياضيات، فيمكنك استخدام كتاب "Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics Adding It Up Helping Children Learn Mathematics" المبسط جدا، والذي يعرضه المساق لتحقيق مقدمة جيدة في الرياضيات، لكنه لا يفرضه عليك؛ بمعنى أنه فقط للاستزادة، أو توضيح بعض النقاط، أما مساق ستانفورد نفسه فهو كفيل بذاته ولا يحتاج مصادر خارجية. سوف تجد نسخة مجانية للكتاب بسهولة، فهو معروض من الجامعة مجانا.

   

من جهة أخرى، لا يمكن لنا مغادرة الحديث عن ستانفورد والرياضيات من دون الإشارة إلى خمس محاضرات رائعة لنفس الرجل، كيث ديفلن، في ستانفورد، تم جمعها معا تحت عنوان (Mathematics: Making the Invisible Visible) "الرياضيات: تحويل غير المرئي إلى مرئي"، وتقديمها مجانا للجميع على اليوتيوب في قناة الجامعة، وتتعرض تلك المجموعة لخمس من الأفكار الهامة بالرياضيات، بداية من الأعداد مرورا بالتفاضل والتكامل، لكن خذ حذرك، وجهز نفسك لدفعة غاية في الرصانة، لكن ليس التعقيد من الرياضيات، فكل محاضرة منها تنتهي في حوالي ساعتين!

   

  

سوف تكون تلك المحاضرات هي مقدمة محترمة للمهتمين بالرياضيات، لكن من تخصصات مختلفة، حيث تقدم المجموعة أساسا لفهم الفكر الرياضياتي نفسه، مع عرض لمجموعة من الموضوعات المثيرة للانتباه، بسياقات تاريخية واجتماعية محببة للقلب، وسوف تغنيك تلك الساعات من المشاهدة أو الاستماع، عن قراءة الكثير من الصفحات لفهم هذا النطاق، كذلك سوف تكون مفيدة لهؤلاء الذين لا يحبون المنصات الحديثة كـ "إيدكس" أو "كورسيرا"، ويرغبون في محاضرات بقاعة محاضرات كما اعتدنا عليها، لكن في هذه المرحلة من تقريرنا يجب أن نتوقف قليلا للحديث عن نقطتين:

   

الأولى: هي اللغة، للأسف لن تجد كثيرا على المحتوى العربي أشكال رصينة من المواد العلمية التي نعرضها هنا عن التفكير الرياضياتي، أو قُل إنك لن تجد أي شيء على الإطلاق، تقريبا، لكن فقط في المحتوى المكتوب بالإنجليزية يمكن أن تجد ذلك، من هنا يصبح إتقان الإنجليزية، ولو بدرجة بسيطة، مدخلا جيدا جدا لعالم واسع من المعارف، ونضيف أن معظم المساقات تقدم لك النصوص الإنجليزية مكتوبة أسفل الفيديو الذي يقدمه المحاضر، ما يخفف عنك إرهاق فهم لكنته والتركيز في الكلمات فقط.

  

أما الثانية: فذات علاقة بجدية رغبتك بالتعلم؛ بعض المساقات سهلة يمكن أن تنهيها على سبيل التسلية، لكن البعض الآخر ليس بتلك السهولة، وسوف تضعف سريعا أمام مادتها ومتطلباتها، لكن لن ينقذك من الوقوع في تلك الدوامة مرة بعد مرة إلا أن تكون جديا تجاه رغباتك في التعلم، تتعامل معها كعملك مثلا، وتحرص عليها كحرصك على علاقاتك مع أفراد عائلتك والأصدقاء، تعطيها من الوقت ما تستحق، أو لا تتخذ القرار من الأساس.

  

دعنا الآن ننهي رحلتنا مع التفكير الرياضياتي، أو دعنا نسميه -باختصار لا يخل كثيرا بالمعنى- "التفكير التجريدي"، بمساق طويل لكن مهم جدا عن تاريخ الرياضيات، أو -لكي نكون أكثر وضوحا- يمكن القول إنه مساق يقدم الرياضيات عبر تاريخها، وما يفيد في عرض تاريخ الرياضيات هو أنه يدفعك لطرح أسئلة إضافية لم تكن لتهتم لها إن كنت تدرس الرياضيات نفسها، أسئلة عن كيفية ظهور تلك الأفكار في أدمغة مبتكريها، وعن السياقات التي دفعت لتكوينها، وهو ما يهم حقا.

  

  

لكن هذا المساق الأخير، وهو "a brief course on the history of mathematics" مساق مختصر في تاريخ الرياضيات، لنورمان ويلدبيرجر، الذي درس من قبل في جامعتي تورنتو وستانفورد، ويحتاج لمقدمة أكثر رصانة في الرياضيات من سابقيه، وإن كانت كل قدراتك هي فقط رياضيات الثانوية العامة، فأنت في حاجة إلى بعض الإضافات الهامة، والمساق بالأساس يعتمد على كتاب "Math and its history" لـجون ستيلويل، والكتاب من إصدارات دار نشر سبرينجر المفتوحة في بعض الدول منها مصر.

  

على الرغم من ذلك، يمكن لك بسهولة الخوض في المساق وتحقيق بعض التقدم قبل أن تواجه أية مشكلات، وذلك لأن إحدى مزايا ولدبرجر هي أسلوبه الرائع في تقديم الرياضيات بسهولة ويسر، كذلك الوقوف بين نقطة وأخرى لتوضيح بعض الموضوعات الجانبية الخاصة بما تم شرحه، لكن مشكلة هذا المساق أيضا هي مدته، فهو يقدم تاريخ الرياضيات في 32 محاضرة تتخطى في كثير من الأحيان حاجز الـ90 دقيقة للمحاضرة الواحدة، لذلك سوف تكون الرحلة مع ولدبرج ممتعة حقا، لكن طويلة للغاية.

   

في النهاية، إن وصولك لتلك النقطة من هذا التقرير يعني أنك مهتم بالفعل، وتلك بداية جيدة، إن تعلم آليات التفكير الرياضياتي هو -كنت متخصصا أم لا- واحد من أمتع الأشياء التي يمكن أن تفعلها في حياتك، لكن دعنا نوضح أن الرياضيات -حتى وإن كنا لا نتعرض لها بشكل قاس- هي نطاق ممل، يحتاج لدرجة من إجبار الذات لكي نتخطاها، والممتع حقا هنا ليس فقط عملية التعلم بقدر ما، أو ما تتحصل عليه في النهاية من مساق كذلك الخاص بستانفورد عن آليات التفكير الرياضياتي، ولكن أيضا فيما تتحصل عليه من اتساع في الأفق، وقدرة حقيقية على تجريد مشكلات واقعية تواجهك. إننا في حاجه دائما لقدر من تلك الصرامة الرياضياتية في حياتنا، سوف تساعد كثيرا.

     

ودعنا نوضح أيضا أن التقرير يعرض لمجموعة من المساقات التي سوف تساعدك في تعلم آليات التفكير كالرياضياتيين المهرة، لكنه لا يطلب منك أن تخوضها جميعا، فقط اختر ما تجد أنه مناسب لوضعك الخاص، سواء قدراتك في الرياضيات، أو الوقت المتاح لك، أو آلية الشرح التي تفضلها. لكن، كن حذرا دائما، ولا تنخرط في مجموعة من المساقات مرة واحدة. تقول القاعدة الذهبية إنه ببساطة هناك "مهمة واحدة في نفس الوقت"، وإلا لن تكمل أيا من أهدافك المتداخلة معا.

    

كما ترى، يحتاج الأمر لجهد عظيم فقط كي تبدأ في فهم شيء ما، وما نعرضه هنا هو البداية فقط، لا يزال الطريق مفتوحا لتعلم ما ترغب، لكن دعنا نتذكر هنا ما قاله أومبرتو إيكو الروائي والفيلسوف الإيطالي في كتابه "يوميات روائي ناشئ". قال: "تعلمت أثناء كتابة روايتي الأولى أشياء كثيرة، منها أن الإلهام كلمة سيئة". ويعني إيكو هنا أن تصوراتك عن أن الإبداع يأتي إلى الموهوبين كأنه حالة من الإلهام السحري، هي تصورات خاطئة. الإبداع هو فقط نتيجة للجهد المنتظم المستمر المبذول على شيء واحد محدد؛ بحيث تبدأ النتائج في الظهور بعد فترة. إن أفكارا كـ"الحاجة" و"الموهبة" و"الشغف" -مثلا- لكي تحقق بعض الإنجازات طالما عطّلتنا عن هذا الطريق، لذلك فأنا في النهاية سوف أعرض عليك اختيارا بسيطا؛ إما أن تبذل جهدا في التعلم فتصل لما تريد، أو لن تصل.